¡El monstruo!

Hoy os dejo con esta historieta, que no tiene desperdicio. Para ver la imagen un poco mas grande, haced click.

P.D.:Por si alguien quiere saber que fue de Mr. y^x no os preocupeis, al final sólo lo multiplicaron por Ln(y).

pi·z·z·a

El volumen de una pizza de radio z y espesor a sería:

pi·z·z·a

Bueno, ya sé que es una frikada épica, pero no me he podido resistirme a ponerla, XD

P.D.:Espero no haber ofendido a nadie, XD

La paradoja de San Petersburgo: La Solución

Hace un par de días presentaba un pequeño enigma conocido como la Paradoja de San Petersburgo. Se trata de un juego de azar cuyo valor esperado es infinito, y por tanto, el precio justo por jugar también debería ser infinito, a pesar de que eso atenta contra la intuición y el sentido común. ¿Dónde está el fallo o la trampa? como ya dijimos en el post original, el resultado matemático es perfectamente correcto. Sin embargo, se nos escapa algo.

La solución a enigma llegó en 1738 precisamente de la mano de Daniel Bernoulli, sobrino de Nicholas Bernoulli (quien propuso la paradoja), aunque Gabriel Cramer ya había adelantado el resultado años antes. La clave está en la pista que ya dimos en el planteamiento original: el valor del dinero no es el mismo para los matemáticos que para el común de los mortales.

De hecho, en su “Nueva Teoría de Medición de la Suerte”, Daniel Bernoulli afirma lo siguiente:

Los matemáticos, en su teoría, valoran el dinero en proporción a la cantidad del mismo; la gente con sentido común, en la práctica, lo valora en proporción a la utilidad que puede obtener de él.

La función de utilidad (u(x)) es el truco que los economistas usan para poder representar matemáticamente las preferencias de los agentes económicos, y en el caso de una persona racional, aunque es siempre creciente, crece de forma cóncava (es decir, crece cada vez más despacio). El sentido común apoya esta intuición. El valor “real” de 100 euros para alguien que tiene cero es muchísimo (ya que es una cuestión de supervivencia), pero para alguien que ya tiene un millón de euros, es ínfimo.

Por lo tanto, no hay que medir el valor esperado del juego, sino la utilidad esperada (que llamaremos U). Repasando las fórmulas del otro post, nos daríamos cuenta rápidamente de que dicha utilidad es U = (1/4)·u(2) + (1/8)·u(4) + (1/16)·u(8) + ... = Σ[u(2ⁿ)/2ⁿ⁺¹], donde u(x) representa la utilidad de percibir x euros.

Pero ¿qué pinta tiene la función u(x)? en realidad, es imposible medir numéricamente la satisfacción obtenida, y de hecho, cada consumidor tendrá su propia función de utilidad (por ejemplo, un amante del riesgo percibirá en el juego una utilidad esperada mayor que una persona muy conservadora). Lo que hicieron Cramer y Bernoulli fue probar con funciones que respondiesen a las características que debe tener una función de utilidad: creciente, cóncava y nula en el origen (la utilidad que produce de tener cero euros también es cero).

En concreto, Cramer probó con la función √x. Desarrollando la expresión, veríamos que U = Σ[2^n/2/2ⁿ⁺¹] = Σ[2^-(n/2)-1]. Si realizamos la suma de infinitos términos (que no tiene mayor problema, porque es geométrica y convergente, jeje), resulta que la utilidad esperada del juego es 1,207.

Pero la utilidad es √x, y a nosotros lo que nos interesa es x (que representa el dinero). De modo que √x = 1,207 -> x = 1,457 €. ¡Nuestro precio justo ha pasado de infinito a poco menos de un euro y medio! En realidad, no es disparatado, ya que al fin y al cabo tenemos un 50% de posibilidades de perder el dinero invertido.

Bernoulli hizo sus ejemplos con la función logaritmo. Si tomamos la función log(x+1) (añadiendo el +1 para que la función sea nula en el origen) y repetimos la operación, tendríamos U = Σ[log(2ⁿ+1)/2ⁿ⁺¹]. Esta serie también converge, y el resultado numérico sería U = 0,832, y como u = log(x+1) sacaríamos x = 1,298 €, todavía menos en el caso anterior.

Como hemos comentado, la elección de la función de utilidad es subjetiva. Estos dos ejemplos corresponderían a personas muy conservadoras, aversas al riesgo. El hecho de que tengamos 50% de posibilidades de perder todo el dinero reduce drásticamente la utilidad esperada del juego. Si hiciésemos una pequeña modificación en el juego de forma que los que sacan cruz a la primera tirada no se fuesen con las manos vacías sino que recibiesen un euro y calculamos de nuevo, veríamos que con la fórmula de Cramer pasaríamos a x = 2,914 €: eliminando el riesgo de volver de vacío, estaríamos dispuestos a duplicar la inversión. Pero en cualquier caso, la cuestión es que aunque el valor esperado del juego sea infinito, la utilidad esperada no lo es, y una persona racional, por muy amante del riesgo que sea, no pagaría un precio muy elevado por jugar (sería de hecho casi imposible encontrar a nadie dispuesto a pagar más de 10 €).

En mi opinión, este tipo de cosas son lo más interesante de la Economía: utilizar las matemáticas para representar conceptos tan subjetivos como la aversión al riesgo. Claro que evidentemente los modelos son modelos, y muchas veces (como estamos viendo con la crisis) fallan estrepitosamente.

La paradoja de San Petersburgo

Hoy os propongo un "pequeño" reto, que ví un dia por internet. El reto está relacionado con una de las ramas más interesantes de la Economía (sobre todo para los que procedemos del mundo de las ciencias y las ingenierías), que es el estudio de la elección con incertidumbre. Se trata de añadir la teoría de la probabilidad a los modelos económicos habituales y estudiar los juegos de azar y las loterías (un concepto que en el fondo es aplicable a cualquier situación de la vida real ya que el resultado de nuestras elecciones habitualmente depende de factores aleatorios externos).

Partimos del valor esperado de un juego de azar. Esto no es más que la ganancia promedio que obtendremos al jugar a dicho juego. Por ejemplo, supongamos un juego en el cual recibimos siete euros si al lanzar un dado sacamos un 6, y un euro si sacamos cualquier otro número. Hay 1/6 de probabilidades de obtener siete euros, y 5/6 de obtener un euro. Por tanto, el valor esperado de este juego será de 1/6 · 7 + 5/6 · 1 = 2. Es decir, si jugamos muchas veces, acabaremos obteniendo en promedio unos dos euros por tirada.

Desde un punto de vista matemático, parece claro que un juego es “justo” si el precio que pagamos es igual al valor esperado. Si pagamos dos euros cada vez que jugamos, nadie nos está estafando ni sacando beneficios extraordinarios. La banca no ganaría dinero cobrando dos euros por tirada, ya que en promedio pagaría dos euros por tirada. Este razonamiento parece abrumadoramente lógico. Y sin embargo, hace unos 300 años, Nicholas Bernoulli le encontró una grieta importante, reflejada en laparadoja de San Petersburgo.

Bernoulli se planteó el siguiente reto: supongamos un juego que consiste en lanzar una moneda al aire y conseguir el máximo número posible de caras seguidas, hasta que sale una cruz y se deja de jugar. Cada vez que sale una nueva cara se duplica el premio, hasta que salga una cruz y entonces el jugador se lleva toda la ganancia acumulada.

Es decir, si la primera tirada es cruz, no se gana nada; si la primera es cara y la siguiente cruz, se ganan dos euros; si saliesen dos caras y una cruz, se ganan cuatro, y así sucesivamente. Por ejemplo, si hubiese alguien tan afortunado como para sacar diez caras seguidas antes de obtener una cruz, ganaría 2¹⁰ euros, o sea, 1024 euros.

¿Cuál es el valor esperado de este juego? Veamos, la posibilidad de sacar una cara es de 1/2 y tiene un premio de 2 euros; la de sacar dos caras es de (1/2)·(1/2) y el premio es de 4 euros; la de sacar tres caras es de (1/2)·(1/2)·(1/2) y se ganarían 8 euros… es fácil de ver que el valor esperado es 2/2 + 2²/2² + 2³/2³ + ... = 1 + 1 + 1 + 1 + ... ¡hasta el infinito!

La paradoja resulta en que tenemos un juego de azar cuyo valor esperado es infinito. Y sin embargo, resulta absurdo pensar que “infinito” pueda ser un precio justo para jugar. De hecho, si hiciésemos una encuesta, es probable que poca gente estuviese dispuesta a participar pagando más de cinco o seis euros. Parece que nuestro razonamiento inicial sobre el “precio justo” de los juegos de azar tiene algún tipo de fallo importante. Pero, ¿cuál?

La solución, próximamente, mientras tanto os invito a devanaros un poco los sesos (nada de buscar en Wikipedia y publicar el resultado ;)). Una pista: el dinero no vale lo mismo para los matemáticos que para el común de los mortales.

La Mosca Matemática

La mosca es un animal que apenas llamaría la atención de cualquiera de nosotros (salvo si nos lee algún entomólogo). Como máximo agarraríamos el insecticida y, fliss, acabaríamos con su vida sólo para evitarnos el cansino zumbido. Pero no fue así para Descartes.

Descartes le daba tanto al coco que hasta la entrada de una simple mosca en su habitación le fue suficiente para hacer avanzar las matemáticas. Descartes era de los que se pasaba muchas horas tumbado en la cama, porque prefería ejercitar la mente a los músculos. Entonces oyó un zumbido.

Localizó a la mosca con la vista. Y llegó a una conclusión. Que era posible determinar en cada instante la posición del insecto. Allí, allá, acullá. Para ello bastaba con conocer su distancia con respecto a dos superficies perpendiculares: la pared y el suelo.

Descartes, entonces, se incorporó en la cama y dibujó en una hoja dos rectas perpendiculares mientras la mosca lo observaba sin entender nada de nada. Cualquier punto de la hoja, o sea, del plano, quedaba determinado por sus distancias a los dos ejes.

A estas distancias las denominó coordenadas del punto. Y permitían representar cualquier ecuación algebraica en forma de curva mediante una ecuación. Descartes, gracias a una mosca, logró encajar la geometría y el álgebra en lo que se llamó geometría analítica.

El Teorema de los Infinitos Monos

No todos los teoremas matemáticos son sesudos e incomprensibles, hay muchos fenómenos sencillos que también tienen su explicación. El Teorema de los Infinitos Monos es un enunciado muy conocido, que asegura que:

"Un mono aporreando una máquina de escribir durante un tiempo infinito podría llegar a escribir cualquier texto dado, como por ejemplo las obras completas de Shakespeare"

Este teorema se usa para ilustrar lo difícil que es intentar abarcar el concepto de infinito. El teorema es cierto, en un tiempo suficientemente grande el mono acabaría por escribir las obras completas de Shakespeare, y las de Cervantes también si hiciera falta, pero la probabilidad de que eso suceda en un intervalo de tiempo tan grande como la edad del Universo es prácticamente nula. ‘Infinito tiempo’ no es ‘mucho tiempo’, sencillamente es… infinito.

Otra variante del teorema afirma que infinitos monos podrían escribir cualquier texto dado en cualquier intervalo de tiempo (no necesariamente infinito). La analogía es la misma. ‘Infinitos monos’ no quiere decir un millón de monos, ni miles de millones, sencillamente quiere decir… infinitos.

Los ‘monos’ en realidad son una metáfora de cualquier dispositivo capaz de generar texto aleatoriamente. El teorema se puede generalizar, en el sentido de que cualquier experimiento aleatorio podrá producir un determinado resultado siempre que la experiencia se realice tantas veces como sea necesario.

Por ejemplo, es posible (aunque la probabilidad sea prácticamente nula), que al lanzar una moneda al aire obtengamos cara mil veces seguidas. Sólo hay que tirar la moneda un suficiente número de veces. De hecho, si lanzásemos la moneda infinitas veces, obtendríamos secuencias de un millón de caras seguidas, de un billón, o de todas las que queramos.